2019数学竞赛几何法？
看到各位的回答，不禁潸然泪下（别以为我是在装逼） 你们真得对得起“优秀”这两个字！ 我就不明白了，这题咋还会有人想到用几何法做？ 难道是高考完的孩子太无聊了（bushi）来知乎看看大家是如何智障的嘛 这题目出得这么鬼斧神工，答案也是妙到颠毫！
首先，我们考虑一个三角形三个内角分别等于α、β、γ 如果我们能找到一条弧，它把这三个角平分，那就ok了 但是事实上，这样的弧是不存在的 所以如果我们的目标是求解这个面积最大值的问题，就注定无法使用几何的方法解决 这题也就没什么意思了对不对 那么接下来就是最骚的环节了！！！
既然我们不能在平面内找到这条弧，那我们就把目光转向立体空间（咦，是不是感觉视野一下子开阔了很多） 我们考虑在一个平面内找三条互相不重合的射线，使得它们的角度分别能够表示成 α=\theta_1+kπ，\beta=\theta_2+kπ，\gamma=\theta_3+kπ 的形式，其中 k 是整数，而 \theta_{1，2，3} 是任意给定的角. 由于任意给定的不重合的三角形的三个内角都可以表示成上述形式，所以这个问题就转化为找一个平面内不重合的三条线，使得它们在某一个方向上能够无限延伸——也就是找一个三维向量 \overrightarrow{P} 使 P_1+P_2+P_3=0 (注意这里是加而不是减哦).
现在问题就变成了一个求解方程组的问题了. 不过呢，这个方程组是无解的.因为任何一个非零向量乘以一个非零数都是无穷多的解. 但是我们追求的是一组有理数的解呀，而由有理数不可加性可知，任何两个有理数的和与差都是有理数，因此只要我们把 P_i 都变成 \frac{P_i}{n} 的形式，就可以得到一个有理数解了.
当然啦，这仅仅是满足了“有理数解”的条件而已，能不能取到最大的面积，还是要打上一个问号的. 不过啊，如果我们要求的面积最大值是 \frac{\pi }{4} 的话，那可真是简单了呢. 因为这时候我们可以取 \theta_1=\theta_2=\theta_3=\frac{\pi }{6} 啊，这样算起来的话， P_1=P_2=P_3=-\frac{1}{2} ，而且这个解是最简单的有理数加法的形式的解. 如果要求的面积最大值不是 \frac{\pi }{4} 呢？ 那我就不知道了哟~